İlk ve ortaöğrenimini İstanbul'da tamamladı. İstanbul Sultanisi'ni bitirdikten sonra İstanbul Dar - ül Fünun'un fizik-kimya bölümüne girdi. Türkiye'de Sinemaya olan ilginin artmasıyla birlikte Uzkınay'ın da dikkatini çeken sinema sanatı, onun dahiliye müdürlüğü yaptığı okulda öğrencilere sinemayı tanıtan ve öğreten dersler vermesini sağladı.

Şehzadebaşı'nda Millî Sinema adı verilen ve daha sonra "Ali Efendi Sineması" adını alan ilk Türk sinemasının 19 Mart 1914 tarihinde açılmasında Uzkınay'ın büyük emeği geçmiştir. Türkiye'de sinemayı halka ilk tanıtan Sigmund Weinberg'den sinema oynatıcısının kullanılmasını öğrendi.

Askerliğini yaparken 14 Kasım 1914 Cumartesi günü Ayastefanos'taki Rus Abidesi'nin yıkılışını 150 metrelik filme çekerek, Türk sinemasında ilk kez film çeken kişi oldu. Bir yıl sonra (1915) Harbiye Nazırı Enver Paşa'nın emriyle Merkez Ordu Sinema Dairesi (MOSD) kurulunca, Türkiye'de sinemayı tanıtma konusunda büyük katkıları olan Sigmund Weinberg de bu kurumun başına getirilir. Yardımcısı da Fuat Uzkınay'dır.

1916'da MOSD'un başına getirildi. Almanya'da filmcilik konusunda eğitim gördü. İlk konulu film olan Himmet Ağa'nın İzdivacını büyük zorluklarla bitirebildi. Ordudan 1954'te emekli olan Fuat Uzkınay, 1956'da öldü.

Ankara'da bulunan Türk Silahlı Kuvvetleri Foto Film Merkezi Komutanlığı'nın bir stüdyosuna hizmetlerinden dolayı Uzkınay'ın adı verilmiştir.